Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree

Abstract

Нехай $f:T^2\to \mathbb{R}$ -- функція Морса на $2$-торі $T^2$, $X$ -- замкнена (можливо порожня) підмножина в $T^2$
і $\mathcal{S}(f,X),$ $\mathcal{O}(f,X)$ -- відповідно стабілізатор і орбіта функції $f$ відносно правої дії групи дифеоморфізмів $\mathcal{D}(T^2,X)$ нерухомих на $X.$
Нехай $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{D}(T^2,X)$, що містить $\mathrm{id}$ і $\mathcal{O}_f(f,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{O}(f,X)$, що містить $f.$ Покладемо $\mathcal{S}'(f,X) = \mathcal{S}(f)\cap\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X).$
Припустимо що функція $f$ є такою, що її граф Кронрода--Ріба є деревом.
Тоді існує множина $2$-дисків $\{D_i\}_{i = 0}^r\subset T^2$ та сталі
$n,m\in\mathbb{N}$ такі, що має місце ізоморфізм
$
\pi_1\mathcal{O}_f(f)\cong \prod_{i = 0}^r \pi_0\mathcal{S}'(f|_{D_i},\partial D_i)\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2,
$
де $A\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2$ -- вінцевий добуток $A$ і $\mathbb{Z}^2$ над $\mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_{nm}.$
Цей результат має місце для більшого класу гладкий функцій $f:T^2\to \mathbb{R}$ які мають таку властивість:
для кожної критичної точки $z$ функції $f$ паросток $f$ в $z$ є гладко еквівалентним однорідному многочлену
$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ без кратних коренів.