Про один клас ніде не монотонних функцій з фрактальними властивостями, який містить підклас сингулярних функцій

Анотація

У роботі розглядається клас неперервних функцій $f$, означених на відрізку $[0;1]$ рівністю
$$
f(x)=\delta_{\alpha_1(x)1}+\sum^{\infty}_{k=2}\left[\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j(x)j}\right] \equiv \Delta^{G^*_3}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots},
$$
де $||q^*_{ik}||$ --- нескінченна стохастична додатна матриця ($i=0,1,2$; $k\in N$); $\beta_{0k}=0$, $\beta_{1k}=q_{0k}$, $\beta_{2k}=q_{0k}+q_{1k}$;
$(\varepsilon_k)$ --- задана послідовність чисел, де $0\leqslant\varepsilon_k\leqslant 1$; $g_{0k}=\dfrac{1+\varepsilon_k}{3}=g_{2k}$, $g_{1k}=\dfrac{1-2\varepsilon_k}{3}$, $\delta_{0k}=0$, $\delta_{1k}=g_{0k}$, $\delta_{2k}=g_{0k}+g_{1k}$, $k\in N$.

Встановлено критерії строгої монотонності, немонотонності та ніде не монотонності, недиференційовності й сингулярності таких функцій. Приділяється увага властивостям множин рівнів функції $f$.