Формули типу Кларка-Окона на просторах регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві

Анотація

У класичному гауссівському аналізі формулу Кларка-Окона можна записати у вигляді $$ F=\mathbf{E}{F}+\int\mathbf{E}\big(\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big)dW_t, $$ де функція (випадкова величина) $F$ є квадратично інтегровною за гауссівською мірою та диференційовною за Хідою; $\mathbf{E}$ позначає математичне сподівання; $\mathbf{E}\big(\circ|_{\mathcal F_t}\big)$ -- умовне математичне сподівання відносно повної $\sigma$-алгебри $\mathcal F_t$, породженої вінерівським процесом $W$ до моменту часу $t$; $\partial_{\cdot} F$ -- похідна Хіди $F$; $\int\circ (t)dW_t$ позначає стохастичний інтеграл Іто за вінерівським процесом. Ця формула має багато застосувань, зокрема, у стохастичному аналізі та у фінансовій математиці.
В цій статті ми узагальнюємо формулу Кларка-Окона на простори регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві. Точніше, ми отримуємо різні формули типу Кларка-Окона на вищезгаданих просторах, вивчаємо властивості підінтегральних функцій у цих формулах, встановлюємо умови, за яких формула типу Кларка-Окона приймає класичний вигляд, тощо. Зокрема, ми показуємо, що обмежувальна умова диференційовності за Хідою для випадкової величини не є суттєвою.