Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел

Анотація

Робота присвячена вивченню континуального класу визначених на відрізку $[0;1]$ функцій, які зберігають одну з цифр поліосновного $Q_s$-зображення $\Delta^{Q_s}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x)\ldots}$ числа $x$, що є узагальненням класичного $s$-кового зображення: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} s^{-k}\alpha_k(x)=\Delta^{s}_{\alpha_1(x)\alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots}$, де
$\alpha_k(x)\in A_s\equiv\{0,1,\ldots,s-1\}$. А саме, функціям наступного виду:
\[
f(\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k \ldots})=\Delta^{Q_s}_{\delta_1 \delta_2 \ldots \delta_k \ldots}, \:\: \text{де } \alpha_k, \delta_k\in A_s,
\]
\[
\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k\ldots}=\beta_{\alpha_1(x)}+\sum\limits_{k=2}^{\infty} \Bigl(\beta_{\alpha_k(x)}\prod\limits_{j=1}^k q_{\alpha_j(x)}\Bigr)
\]
і при цьому
$\delta_k = \varphi_k(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_k(x))$, але $\delta_k=m$ тоді і тільки тоді, коли $\alpha_k(x)=m$, де $m$ -- фіксована цифра алфавіту~$A_s$.

Для окремих представників різних підкласів сім'ї функцій, що зберігають цифру $m$ алфавіту $A_s$, досліджено автомодельні й фрактальні властивості.