Морфізм формальності як механізм $\star$-асоціативності: як це працює

Анотація

Морфізм $\boldsymbol{{\mathcal{F}}}=\{{\mathcal{F}}_n$, $n\geqslant1\}$, що забезпечує властивість формальності алгебр в деформаційному квантуванні за Концевичем, задано набором відображень тензорних степеней диференціальної градуйованої алгебри Лі (dgLa) мультивекторних полів в dgLa полідиференціальних операторів на скінченновимірних афінних многовидах. Хоча перший член ${\mathcal{F}}_1$ сам по собі не є морфізмом алгебр Лі, послідовність $\boldsymbol{{\mathcal{F}}}$
в цілому є $L_\infty$-морфізмом. На його основі будується відображення елементів Маурера-Картана, яке ставить у відповідність пуасоновим бівекторам деформації $\mu_A\mapsto\star_{A[[\hbar]]}$, що добудовують звичайне множення функцій до асоціативних некомутативних $\star$-добутків на просторі степеневих рядів по $\hbar$. При цьому асоциативність $\star$-добутків забезпечено - на мові графів Концевича, що представляють полідиференціальні оператори - диференціальними наслідками тотожності Якобі. Мета роботи - проілюструвати цей алгебраїчний механізм для $\star$-добутків Концевича (зокрема, з гармонічними пропагаторами).