Теорема Борсука-Улама для дволистих накриттів многовидів Зейферта

Анотація

Ми вивчаємо теорему типу Борсука-Улама для пар $(M,\tau)$, де $\tau$ - інволюція без нерухомих точок на $M$,  та  $M$ і $N\colon = M/\tau$ є многовидами Зейферта. Відповідно до цього ми розпочинаємо з многовиду Зейферта $N$. Будь-який нетривіальний елемент  $\xi\in H^1(N;Z_2)$ дає пару t\ $(M_\xi, \tau_\xi) = (M , \tau) $, де $M$ (обов'язково) також многовид Зейферта, і дволисте накриття $p \colon M \twoheadrightarrow N$, де $\tau$ буде інволюцією без нерухомих точок на $M$ асоційована з цим дволистим накриттям як нетривіальним накриваючим перетворенням. Тоді ми шукаємо найбільше значення $n$, що називається $\mathbb{Z}_2$-індексом для $(M,\tau)$, таким, що має місце властивість Борсука-Улама для відображень на $\mathbb{R}^n$,  тобто для довільного неперервного відображення $f\colon M\to \mathbb{R}^n$ існує $x\in M$ таке, що $f(x)=f(\tau(x))$. У випадку, коли $M$ є $3$-многовидом (наприклад многовидом Зейферта), $\mathbb{Z}_2$-індекс може досягати лише значень  $1,2,3$.