Числові характеристики випадкової величини, пов'язаної з представленням дійсних чисел рядами Остроградського-Серпінського-Пірса

Анотація

Відомо, що будь-яке ірраціональне число $x\in\left(0;1\right)\backslash \mathbb{Q}\equiv\Omega$ єдиним чином розкладається в ряд Остроградського-Серпінського-Пірса:
$$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_1(x)\cdot...\cdot q_n(x)},$$ де $q_n(x)\in\mathbb{N}$, $q_{n+1}(x)> q_n(x)$, для кожного $n \in \mathbb{N}$.
Для зображення ірраціонального числа $x\in\Omega$ рядом Остроградського-Серпінського-Пірса обчислюються числові характеристики випадкової величини $$\xi(X)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q_n(X)},$$ де $X$ -- рівномірно розподілена на $\Omega$ випадкова величина. Запропоновано новий спосіб обчислення математичного сподівання $M\xi$, відмінний від способу, що описаний в \cite{Shallit1986}, та знайдено дисперсію $D\xi$. Також розглянуто випадкові величини $\xi_n$ як узагальнення функції $\xi$ та обчислено їхні математичні сподівання $M\xi_n$