Збірник Праць Інституту математики НАН України
Збірник Праць Інститут Математики НАН України (ЗПІМ) друкує оригінальні та оглядові наукові статті (як виключення, нариси з історії математики), які пов'язуються із поточною тематикою наукових досліджень Інституту (див. Редколегію журналу) в галузях чистої та прикладної математики, а також історії та методики викладання математики. Річний том збірника містить один суцільний номер. До розгляду приймаються статті, підготовлені українською та англійською мовами.
Алгебраїчна структура фундаментальної групи орбіт гладких функцій на 2-торі
Дана оглядова стаття присвячена опису алгебраїчної структури фундаментальної групи орбіт функцій з ізольованими особливостями на 2-торі відносно дії групи дифеоморфізмів 2-тора
Авторське право (c) 2024 Богдан Фещенко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Нелінійні властивості траєкторій в моделях динамічних систем конфлікту
Ця стаття присвячена дослідженню властивостей траєкторій динамічних систем конфлікту. Розглядаються як притягальні, так і відштовхувальні взаємодії між компонентами системи. Результати демонструють широкий спектр поведінкових сценаріїв, включаючи стабільні, циклічні, квазіперіодичні та хаотичні режими. Особлива увага приділяється ролі параметрів взаємодії та початкових умов у визначенні довгострокової динаміки системи. Отримані результати є основою для моделювання конфліктних систем у різних прикладних сферах, таких як економіка, екологія та соціальні науки.
Авторське право (c) 2024 Оксана Сатур http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Фрактальний аналіз функцій зі складною локальною структурою
У статті розглядається клас фрактальних функцій, аргумент і значення яких записані в одній і тій же (або різних) системах зображення чисел з нульовою надлишковістю (Q2-зображення, Q2*-зображення, ланцюгове A-зображення чисел). Для наведених прикладів конструкцій функцій описано їх тополого-метричні, фрактальні та диференціальні властивості.
Авторське право (c) 2024 Софія Ратушняк http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Просторові коливання рідини в~циліндричному вертикальному контейнері
За допомогою нелінійної модальної системи Наріманова–Моісєєва з лінійними коефіцієнтами демпфування, що відповідають за логарифмічний декремент власних мод коливань рідини, досліджено усталені демпфовані резонансні хлюпання рідини у циліндричному резервуарі. Використання формули Майлза для оцінки коефіцієнтів демпфування показує, що ці ефекти можуть мати суттєве значення у лабораторних умовах. Отримано асимптотичні стійкі розв'язки модальної системи для заданого руху циліндричного резервуара з чотирма ступенями вільності, коли частота збурень наближається до найнижчої власної частоти рідини. Цей розв'язок виявляється є асимптотично еквівалентним горизонтальному еліптичному збуренню контейнера. Проаналізовано амплітудно-частотні характеристики, які залежать від співвідношення півосей еліптичної орбіти, і пов'язані з амплітудами двох найнижчих власних форм коливань рідини.
Авторське право (c) 2024 Ігор Райновський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Оцінки характеристик нелінійної апроксимації класів періодичних функцій
У роботі зроблено огляд результатів щодо порядкових оцінок величин найкращого m-членного (розрідженого) тригонометричного наближення і найкращого ортогонального тригонометричного наближення класів Степанця функцій однієї і багатьох змінних з обмеженими узагальненими похідними у метриці просторів Лебега. Крім цього, наведено точні за порядком оцінки зазначених апроксимативних характеристик для ізотропних класів Нікольського-Бєсова з обмеженими різницями у метриці деякого підпростору Лебега. Розглянуто, зокрема, випадок малої гладкості функцій з відповідних класів.
Авторське право (c) 2024 Катерина Пожарська http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Зображення і когомології груп і напівгруп
У статті узагальнено результати, пов’язані з когомологіями решіток над груповими кільцями, зокрема над груповим кільцем четверної групи Кляйна. Показано, що в цьому випадку сизиґії збігаються з трансляцією Ауслендера-Райтен, що дозволило повністю обчислити когомології Тейта для всіх решіток та описати дію автоморфізмів групи. Окрему увагу приділено регулярним решіткам і їхнім застосуванням до класифікації багатовимірних кристалографічних і черніківських груп. Також розглянуто зв’язок когомологій і зображень схрещених групових кілець із когомологіями кілець коефіцієнтів, зокрема для групових кілець напівпрямих добутків. Узагальнено підхід до обчислення когомологій на прикладі цілих зображень альтернативної групи A4, що дозволило отримати нову класифікацію та повні когомологічні інваріанти. Результати мають міждисциплінарне значення для теорії груп, гомологічної алгебри, кристалографії та теорії кодування.
Авторське право (c) 2024 Андріяна Плакош http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Представлення деяких класів кватерніонних гіперголоморфних функцій
В алгебрі комплексних кватерніонів H(C) розглянуто ліво- і право-ψ-гіперголоморфні функції, а також ліво-Λ — ψ-гіперголоморфні функції. Обґрунтовано перехід у ліво- і право-ψ-гіперголоморфних функціях до простішого базису, а саме до базису Картана. Використовуючи базис Картана, знайдено розв’язок рівняння Коші—Фуетера. Таким же методом знайдено представлення ліво- і право-ψ-гіперголоморфних функцій, а також представлення ліво-Λ — ψ-гіперголоморфних функцій.
Авторське право (c) 2024 Тетяна Кузьменко, Віталій Шпаківський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Про асимптотичну поведінку на нескінченності кільцевих та нижніх Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля
У статті досліджується асимптотична поведінка на нескінченності кільцевих Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля при p≥n та нижніх Q-гомеоморфізмів відносно p-модуля при n−1<p≤n у просторі Rn, n≥2.
Авторське право (c) 2024 Богдан Кліщук, Руслан Салімов, Марія Стефанчук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на одиничному колі
Ця стаття є спробою прослідкувати шлях, який пройшла відкрита проблема В.М. Дубініна про екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами на одиничному колі. На даний час ця проблема повністю не розв'язана. У даній роботі одержано її частковий розв'язок при $n\geqslant40$ для випадку однозв'язних областей.
Авторське право (c) 2024 Ірина Денега, Ярослав Заболотний http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Залежність ефективних властивостей від регулярних збурень
У цьому огляді ми представляємо деякі наші результати щодо поведінки ефективних властивостей за наявності збурень геометричних і фізичних параметрів. Ми спочатку покажемо, що середній поздовжній потік ньютонівської рідини, що тече з низькими числами Рейнольдса навколо періодичного масиву циліндрів, аналітично залежить від збурень структури періодичності та поперечного перерізу циліндрів. Далі ми покажемо аналітичну залежність ефективної провідності періодичного двофазного композиту з ідеальним і неідеальним контактами на межі від збурень форми включень, структури періодичності та провідності кожного матеріалу.
Авторське право (c) 2024 Маттео Далла Ріва, Паоло Луцціні, Паоло Мусоліно, Роман Пухтаєвич http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Групова класифікація диференціальних рівнянь: алгебраїчний підхід
Використовуючи класичну теорему Лі про реалізацію алгебр Лі век\-торними полями на прямій, суттєво спрощено доведення відомих результатів про класифікацію класів (1+1)-вимірних нелінійних еволюційних рівнянь вигляду ut=H(uxx) та ut+uux=H(uxx).
Авторське право (c) 2024 Олександра Локазюк, Софія Гурака http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Кінетичні кластерні розклади твірних операторів розв'язків ієрархій еволюційних рівнянь
В статті подано огляд методу кінетичних кластери розкладів для твірних операторів розв'язків ієрархій еволюційних рівнянь. Розроблений метод дозволяє строго обґрунтовувати вивiд нелінійних кiнетичних рiвнянь з мікроскопічної динаміки систем багатьох частинок.
Авторське право (c) 2024 Ігор Гап'як http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Крайові задачі для інтегро-диференціальних рівнянь
У даній роботі представлений огляд праць присвячених крайовим задачам для інтегро-диференціальних та інтегро-динамічних систем. Для дослідження існування розв'язків таких задач використано апарат теорії псевдообернених матриць та операторів, метод Вишика-Люстерніка (у випадку слабкозбурених систем).
Авторське право (c) 2024 Іванна Бондар http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Інтегральні теореми в скінченновимірній комутативній алгебрі
Для моногенних (неперервних і диференційовних за Гато) функцій, що визначені у спеціальних дійсних підпросторах довільної скінченновимірної комутативної асоціативної алгебри над комплексним полем і примають значення в цій алгебрі, встановлено основні властивості, аналогічні властивостям голоморфних функцій комплексної змінної. Методи дослідження базуються на представленні моногенних функцій через голоморфні функції комплексних змінних, що дає змогу встановити аналоги умов Коші-Рімана та неперервність похідних Гато всіх порядків для моногенних функцій. У такий спосіб доведено аналоги ряду класичних теорем комплексного аналізу (інтегральна теорема Коші для криволінійного інтеграла, інтегральна формула Коші, теорема Морери, теорема Тейлора) та встановлено різні еквівалентні означення моногенних функцій. Доведено аналог теореми Коші для поверзневого інтеграла по не кусково гладких поверхнях.
Авторське право (c) 2023 Сергій Плакса, Віталій Шпаківський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Групи дифеоморфізмів шарування Морса-Ботта на заповненій пляшці Клейна пляшками Клейна паралельними межі
Нехай $\mathcal{G}$ -- шарування Морса-Ботта на заповненій пляшці Кляйна $\mathbf{K}$ на двовимірні пляшки Кляйна паралельні до межі $\partial\mathbf{K}$ та центральне коло $S^1$. Нехай також $S^1\widetilde{\times}S^2$ -- тотальний простір єдиного нетривіального $S^2$-розшарування над колом $S^1$, яке є об'єднанням двох копій $\mathbf{K}_0$ та $\mathbf{K}_1$ заповненої пляшки Кляйна зі спільною межею $K$. Тоді шарування $\mathcal{G}$ на кожній копії $\mathbf{K}_0$ та $\mathbf{K}_1$ визначає шарування $\mathcal{G}'$ на $S^1\widetilde{\times}S^2$ на паралельні пляшки Кляйна та два сингулярні кола. В роботі обчислено гомотопічні типи груп дифеоморфізмів шарувань $\mathcal{G}$ та $\mathcal{G}'$.
Авторське право (c) 2023 Sergiy Maksymenko http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Розширені можливості аналітичної механіки суцільного середовища
Обговорюються розширені можливості аналітичної механіки суцільного середовища і джерела, які сприяли виникненню, розвитку і високим досягненням такого напрямку досліджень саме в Україні. Відстежуються зв'язки цього напрямку досліджень з Д. О. Ґраве і його учнем М. О. Кільчевським. Скорочено викладено і проілюстровано на ряді прикладів нові елементи такого підходу і його переваги. Показано, що подібні дослідження і дотепер розвиваються саме в Україні.
Авторське право (c) 2023 Олег Лімарченко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Теорія динамічних систем конфлікту в рамках функціонального аналізу
Стаття присвячена введенню математичної постановки задач, пов’язаних із феномен конфлікту, в термінах конструкцій у гільбертових просторах. Боротьба (конфлікт, гра) між опонентами (супротивниками, гравцями) буде представлена операторними перетвореннями векторів у гільбертових просторах та ймовірнісними розподілами на просторі життєвих ресурсів. Феномен конфлікту, як суперечність між опонентами, в математичних термінах означає перетин областей визначення для операторів та перекриття носіїв відповідних мір. Конфліктна, у фізичному сенсі, взаємодія між опонентами описується специфічним перетворенням станів у гільбертовому просторі. У свою чергу, ці відображення змінюють спектральні вимірювання. Таким чином, виникає складна динамічна система, яку ми називаємо динамічною системою конфлікту. Як основні проблеми постають наступні фундаментальні питання. Який розумний закон конфліктної взаємодії (гри чи війни) треба прийняти для розв'язання початкових перетинів? Яким має бути справедливий граничний розподіл території життєвого ресурсу? У більш загальному формулюванні, розв'язання конфліктних проблем означає детальний опис усіх можливих результатів про стани опонентів типу: перемоги, поразки, рівноваги, компроміси, як нерухомі точки, разом з басейнами їх притягання.
Авторське право (c) 2023 Volodymyr Koshmanenko http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Формули типу Кларка-Окона на просторах регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві
У класичному гауссівському аналізі формулу Кларка-Окона можна записати у вигляді $$ F=\mathbf{E}{F}+\int\mathbf{E}\big(\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big)dW_t, $$ де функція (випадкова величина) $F$ є квадратично інтегровною за гауссівською мірою та диференційовною за Хідою; $\mathbf{E}$ позначає математичне сподівання; $\mathbf{E}\big(\circ|_{\mathcal F_t}\big)$ -- умовне математичне сподівання відносно повної $\sigma$-алгебри $\mathcal F_t$, породженої вінерівським процесом $W$ до моменту часу $t$; $\partial_{\cdot} F$ -- похідна Хіди $F$; $\int\circ (t)dW_t$ позначає стохастичний інтеграл Іто за вінерівським процесом. Ця формула має багато застосувань, зокрема, у стохастичному аналізі та у фінансовій математиці. В цій статті ми узагальнюємо формулу Кларка-Окона на простори регулярних основних і узагальнених функцій в аналізі білого шуму Леві. Точніше, ми отримуємо різні формули типу Кларка-Окона на вищезгаданих просторах, вивчаємо властивості підінтегральних функцій у цих формулах, встановлюємо умови, за яких формула типу Кларка-Окона приймає класичний вигляд, тощо. Зокрема, ми показуємо, що обмежувальна умова диференційовності за Хідою для випадкової величини не є суттєвою.
Авторське право (c) 2023 Микола Качановський http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Досягнення в теорії рівнянь еволюції багатьох частинок із зіткненнями
В огляді подано строгі результати теорії фундаментальних еволюційних рівнянь систем багатьох частинок із зіткненнями, а також розглянуто їх зв’язок із нелінійними кінетичними рівняннями, які описують колективну поведінку частинок у скейлінгових наближеннях.
Авторське право (c) 2023 Віктор Герасименко, Ігор Гап'як http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Зародження і розвиток ідей теорії стохастичних диференціальних рівнянь в українській школі математики
Як зародилось поняття стохастичного диференціального рівняння в рамках української математичної школи та як проходило становлення теорії таких рівнянь в Україні - це основні питання, що їх висвітлено в статті.
Авторське право (c) 2023 Микола Портенко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Від семінару Ґраве до похідних категорій
Ця стаття виникла з моєї лекції на Перших Ґравевських читаннях, у якій я намагався прослідкувати шлях, що розпочався з лекцій і семінару Д. Ґраве в Київському університеті й привів до досліджень у найсучасніших галузях математики. Звичайно, я вибрав ту галузь з численних напрямків, розвинених учнями Ґраве та їх науковими спадкоємцями, яка близька до Київської школи теорії зображень і до моїх власних досліджень. Вибір матеріалу у статті також цілком суб'єктивний і вона не претендує на те, щоб бути історичним оглядом. Скоріше, це - спогади учасника подій.
Авторське право (c) 2023 Юрій Дрозд http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
CLX років від дня народження академіка Д. О. Ґраве
З нагоди 160-річчя від дня народження академіка Д. О. Ґраве у цьому передньому слові наведено деякі біографічні факти з життя та творчості видатного Вченого. Загалом цей том Праць Інституту математики, періодичного видання, заснованого в 1938 р. академіком Д. О. Ґраве, містить лекції Ґравевських читань та праці з актуальних напрямів розвитку сучасної математики в Україні.
Авторське право (c) 2023 Віктор Герасименко, Сергій Максименко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом
Доведено, що множина $G_{\mathcal{A}}$ значень ланцюгових дробів, елементи яких належать обмеженій множині $\mathcal{A}$ додатних дійсних чисел є континуальною, обмеженою, досконалою. При $\mathcal{A}_3=\{0,5; 1; 8\}$ вона є канторвалом, а саме множиною, гомеоморфною множині $$E= \{x: x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{3\alpha_{2k-1}}{4^k}+\frac{2\alpha_{2k}}{4^k}),\alpha_k\in\{0,1\}\},$$ яка містить зліченну множину відрізків, доповнення до яких є континуальною ніде не щільною множиною.
Авторське право (c) 2019 2019 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Про одну сингулярну функцію канторівського типу, пов'язану з рядами Енгеля
У роботі конструюється і досліджується клас неперервних на $[0, 1]$ функцій з континуальною множиною особливостей. Функція $f$ з~цього класу показано зображенням аргументу поруч з Енгеля і спеціальним збіжним поруч. Знайдено умови сингулярності канторівського типу функції $f$.
Авторське право (c) 2019 О. М. Барановський, М. В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Метрична та ймовірнісна теорії $G_2$-зображення чисел
Для двоосновної системи кодування чисел відрізка $[0;g_0], \; g_0<1$, з різнознаковими основами $g_0$ і $\dfrac{1}{2}<g_1\equiv g_0-1,$ засобами алфавіту $A=\{0;1\}$: \begin{equation}\label{ex:ab:1} x=\alpha_1 g_{1-\alpha_1}+\sum\limits^\infty_{k=2}(\alpha_k g_{1-\alpha_k}\prod\limits^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j})\equiv \Delta^{G_2}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\ldots}, \end{equation} де $\alpha_n\in A,$ розвивається ймовірніснісна теорія, а саме розглядаються розподіли цифр випадкової величини $X$ з заданим розподілом і розподіл випадкової величини $\xi$, визначенний розподілами цифр її $G_2$--зображеннями (\ref{ex:ab:1}) у випадку їх незалежності. Встановлюється лебегівська структура розподілу, вивчаються диференціальні властивості функції розподілу, а також властивості його спектра та носія.
Авторське право (c) 2023 М. В. Працьовитий, І. М. Лисенко, Ю. П. Маслова http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Про розподіли значень функцій типу Серпінського
Будується нескінченно-параметрична сім'я неперервних ніде не монотонних функцій, які є узагальненням класичної ніде не диференційовної функції Серпінського. Вивчаються тополого-метричні властивості розподілу значень функції з побудованої сім'ї.
Авторське право (c) 2023 Н. А. Василенко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Matrices with all minors of some fixed order being equal: the rank, dimension and characteristic property
У статті досліджується клас $\mathfrak{M}$ матриць (над довільним полем), в яких всі мінори деякого фіксованого порядку $k$ -- рівні і відмінні від 0. Встановлено, що ранг таких матриць дорівнює $k$. Знайдено можливі значення для розмірності матриці з класу $\mathfrak{M}$. Дано також необхідну і достатню умову для того, щоб матриця належала до класу $\mathfrak{M}$.
Авторське право (c) 2019 D. Ya. Trebenko, O. O. Trebenko http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Ніде не монотонні функції, пов'язані з зображеннями чисел рядами Кантора
У роботі вивчаються властивості двох неперервних ніде не монотонних функцій, аргумент яких представлений у канторівській системі числення з послідовністю натуральних основ $(s_k)$, де $s_k=2k+1$, а значення функції визначається ланцюговою залежністю цифр $Q_s$-зображення числа від цифр зображення аргументу.
Про розподіл значень однієї сингулярної функції, пов'язаної з зображенням чисел рядами Люрота
Вивчається розподіл випадкової величини $Y=F(X)$, де $X$ --- рівномірно розподілена на $[0;1]$ випадкова величина, $F$ --- функція розподілу, цифри зображення якої додатним рядом Люрота є незалежними і однаково розподіленими випадковими величинами. Розв'язується задача про лебегівську структуру розподілу $Y$, доводиться критерій дискретності (і неперервності) розподілу $Y$, знайдено умови, при яких розподіл не є чистим.
Канторівська двійково-фібоначчієва система числення у задачах теорії функцій
У роботі вивчається клас неперервних функцій з локально-складною структурою, які означуються у термінах зображення чисел у канторівській системі числення: \[[0;1]\ni x=\frac{\alpha_1}{s_1}+\frac{\alpha_2}{s_1s_2}+ \cdots +\frac{\alpha_n}{s_1s_2...s_n}+\cdots\equiv\Delta_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...},\] де $s_n=2^{\varphi_n}$, $(\varphi_n)$ --- класична послідовність Фібоначчі: $\varphi_1=1=\varphi_2$, \mbox{$\varphi_{n+2}=\varphi_n+\varphi_{n+1}$,} $\alpha_n\in \{0, 1, \ldots, s_n-1\}$. Серед досліджуваних функцій сингулярні, ніде не монотонні та недиференційовні функції; функції з обмеженою та необмеженою варіацією.
Авторське право (c) 2019 О. І. Бондаренко, Н. М. Василенко, М. В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0