Канторвали як множини неелементарних ланцюгових дробів з обмеженим алфавітом

Анотація

Доведено, що множина $G_{\mathcal{A}}$ значень ланцюгових дробів, елементи яких належать обмеженій множині $\mathcal{A}$ додатних дійсних чисел є континуальною, обмеженою, досконалою. При $\mathcal{A}_3=\{0,5; 1; 8\}$ вона є канторвалом, а саме множиною, гомеоморфною множині
$$E= \{x: x=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{3\alpha_{2k-1}}{4^k}+\frac{2\alpha_{2k}}{4^k}),\alpha_k\in\{0,1\}\},$$
яка містить зліченну множину відрізків, доповнення до яких є континуальною ніде не щільною множиною.